Định lí điểm cân bằng Blum-Oettli và một số mở rộng

ụ í ủ t ợ trì ột số ết q ứ
q ết q ủ tt ó ột số ết q tồ t
ệ ủ t ó ó tết ệ ở ồ
ết q ủ tt ết q í ủ tt ột số
ết q ở rộ
ở ết t ệ t ồ

trì ột số ết q ề sự tồ t ệ ủ
t ở ớ ứ ó tết ệ ó
tết ệ ớ ề ệ ứ ổ ể ú t trì
ết q ớ ụ í ể t rõ sự ết ố ủ ớ
ứ tr ết q ủ tt ết ố ở ết q ết ố ở ý
tở ứ ết q ết q ứ ợ trì ở
ủ ế ợ t ợ từ s
trì ết q tr t ủ ó ết q ề sự
tồ t ệ ủ t ợ tết ở tt ết
q ù ý tở ứ ủ ó sự ợ t ết q ù ý
tở ứ ủ ú ợ trì ở r
ú t ũ trì ột ết q ó q ợ ố trớ ết
q ủ tt ó trì ủ rsrrt
ồ tờ trì ột ết q ở rộ ớ ố ớ ết q
ủ tt ó trì ủ
ề ế sự ở rộ ết q ủ tt r t
t trị trị ết q ở ợ t ợ từ
t ệ ssssĩ

S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn
ợ t t rờ ọ s ọ
rớ ết t tỏ ò ết s s tớ ế sĩ
ó ờ t t tì ớ ú ỡ tr
ọ ể t t tỏ ò ết tớ t
tr rờ P ệ t ọ ệt rờ
P ộ ú t t ó ọ
ở ụ t rờ P ý ờ ệt rờ
P ệt số ì t ề ệ
ộ ú t sốt tr q trì ọ t ứ

S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn

t ệ
ó tết ệ
ớ ứ q trọ tr ứ ề sự tồ t
ệ ủ t ứ ù tết ệ
ù tết ệ ết q ý tở ứ ở
ớ ứ sở ệ tết ứ ị í
ể tt ợ trì ở s ì tr
ú t trì ột số ết q ở ớ
ứ tr ữ ết q ợ t ợ từ ủ s
rớ t ú t r ủ t
ột số trờ ợ r q ết ó tí ệ
ệ
t
t ợ tt ể t s
ì x C s f(x, y) 0 ớ ọ y C P
tr ó C ột t trớ f : C ì C R ột trớ
ố ớ t tr ét t X t C tờ
ợ ét t ồ

S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn
f ợ ọ ệ ế f(x, y) + f(y, x) 0 ớ ọ x, y C
ệ ở rộ ủ ệ t tử ệ tử
A : C X

ọ ệ ế Ax Ay, x y 0, x, y C, ở
X

ố ủ X
f ợ ọ tụ ế ớ x, y C trớ tù ý
số f(x + t(y x), y) ử tụ ớ t t tr [0; 1]
ệ ở rộ ủ ệ t tử tụ tử
A : C X

ọ tụ ế A(x + ty), z ớ x, y, z C
t ỳ ố ị ử tụ ớ t t tr [0; 1]
t ề trờ ợ r t q
ết t tứ ột trờ ợ r q trọ ớ
ột số trờ ợ r q trọ
t tố
: C R ì x C s (x) (y) ớ ọ y C
ũ ết ì min{(x) | x C}
t f(x, y) = (x)(y) ó t tố trở t ì x C
s f(x, y) 0 ớ ọ y C t t ớ t
ở f số ệ
t ể ự
: C
1
ì C
2
R (x
1
, x
2
) ọ ể ự ủ ế
(x
1
, x
2
) C
1
ì C
2
, (x
1
, y
2
) (y
1
, x
2
), (y
1
, y
2
) C
1
ì C
2
. (1.1)
t C = C
1
ì C
2
f : C ì C R ị ở
f((x
1
, x
2
); (y
1
, y
2
)) = (x
1
, y
2
) (y
1
, x
2
).

S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn
x = (x
1
, x
2
) ệ ủ t P ế ỉ
ế x tỏ ễ t f ệ tr trờ ợ
t ể t ộ
X = X

rt T : C C ột
trớ
t t ộ ở t
ì x C s T (x) = x (1.2)
t f(x, y) = x T x, x y ó x ệ ủ t
P ế ỉ ế ó ệ ủ (1.2)
t
P ể
P (1.2) ọ y = T x t ó
0 f(x, y) = x y
2
0 r x = T x
f(x, y) + f(y, x) = x T x, x y + y T y, y x
= T y T x, x y + x y, x y
= T y T x, x y+ x y
2
= T xT y, xy+ xy
2

tr trờ ợ f ệ ỉ
T x T y, x y x y
2
.
t t tứ ế
T : C X

ì x C s
T x, x y 0, y C (1.3)

S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn
t f(x, y) = T x, x y õ r t (1.3) t ớ
t P f ệ ỉ T ệ
t ù
C ó ồ ó ớ ó ự ủ ó
C

= {x

X

| x

, y 0, y C}
T : C X

trớ t ù t tì x X s

x C, T x C

, T x, x = 0. (1.4)
ễ t (1.4) t ớ (1.3)
t
(1.4) (1.3) ể
ế (1.3) ú y = 2x y = 0 từ (1.3) t t ợ T x, x = 0.
ó (1.4)
s tr trò
I ột t ỉ số ữ t ờ ớ i I
trớ t K
i
t ế ợ ờ tứ i t K =

iI
K
i
. ớ ỗ
i I, f
i
: K R tổ tt ủ ờ tứ i ụ tộ
ế ợ ủ tt ờ ớ x = (x
i
)
iI
K t ị ĩ
x
i
= (x
j
)
jI,j=i
ể x = (x
i
)
iI
K ợ ọ ể s
ế ớ ọ i I t ó
f
i
(x) f
i
(x
i
, y
i
), y
i
K
i
(1.5)
ĩ ờ tể tổ tt ủ ì t

S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn
ổ ế ợ ủ ì f : K ì K R ị ở
f(x, y) =

iI
(f
i
(x
i
, y
i
) + f
i
(x)).
x K ể s ế ỉ ế x tỏ
t P t ế ú ớ ọ i I tì ể
P ợ tỏ ế ớ i I t ọ y K s x
i
= y
i
, tì
f(x, y) = f
i
(x
i
, y
i
) + f
i
(x)
ó P s r ớ ọ i I. f tr trờ ợ
ệ
t tứ
ớ C ột t ồ F : C ì C R t tứ
t tứ tết ề ệ ố ớ F ể tồ t x C s
F (x, y) 0 ớ ọ y C tr ó ò ỏ F ó tí ệ

t ệ
ể ở rộ ột số ết q tồ t ệ ủ t tứ ế
ệ 1976 s ứ ết q tồ t ệ q
trọ s t ù tết ệ
ị í s
C ột t ồ ó tr t t sr X
g : C ì C R g(x, x) 0 ớ ọ x C s ề ệ s
tỏ
g tụ ệ
ớ ỗ x C, g(x, .) õ ử tụ tr

S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn
ề ệ ứ ồ t t B C y
0
B s
g(x, y
0
) > 0, x C \ B.
ó t ệ ủ t
x C : g(x, y) 0, y C (1.6)
t rỗ ồ tr B
ị í tr í ị í tr ớ = 0 = 0 ể tệ
ệ sử ụ ở s ể ứ ị í tr s ù
ột ết q q ết ủ ề ủ ọ t ó ứ
ột ết q ở rộ ủ tí t t tử ệ ó ổ ề
ổ ề ớ
ớ ỗ y C t t
G(y) = {x C : g(x, y) 0}
H(y) = {x C : g(y, x) 0}
F (y) = G(y)
A í ệ ó ủ t A
ổ ề
T ột t tù ý tr ột t t E ớ ỗ w T
ột t ó F (w) ủ E s ề ệ s ợ tỏ
ớ ỗ t ữ {w
1
, w
2
, , w
n
} tì
co{w
1
, w
2
, , w
n
}
n

i=1
F (w
i
)
coA í ệ ồ ủ t A
ồ t w
0
T ể F (w
0
)

S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn
ó t ó

wT
F (w) = .
r t ệ ổ ề ò ọ ổ ề í
ợ ị ĩ ớ
X t t sr C ột t rỗ
ủ X trị F : C 2
X
ọ ế ớ ỗ t
ữ {x
1
, x
2
, , x
n
} C t ó
co{x
1
, x
2
, , x
n
}
n

i=1
F (x
i
).
ề ệ ủ ổ ề ó ĩ F : T 2
X


ổ ề
C ột t ồ ó tr t t sr X
g : C ì C R ớ g(x, x) 0, x C tỏ ề ệ s
g tụ ệ
ớ ỗ x C, g(x, .) õ ử tụ tr


yC
F (y) =

yC
H(y) =

yC
G(y)
ỗ ột t ồ ó ủ C
ứ
G(y) F (y) ớ ọ y C t ỉ ứ

yC
F (y)

yC
H(y)

yC
G(y).

S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn
t ột x G(y) t ì t ó g(x, y) 0 g ệ
g(x, y) 0 g(x, y) + g(y, x).
r g(y, x) 0 ĩ x H(y) G(y) H(y)
ó ớ ỗ y C H(y) ồ ó g(y, .) õ ử tụ
tr F (y) ó ủ G(y) G(y) H(y) F (y) H(y)
s r

yC
F (y)

yC
H(y).
ờ t ứ

yC
H(y)

yC
G(y),
ĩ ứ tỏ
g(y, x) 0 y C, (1.7)
é t
g(x, y) 0 y C. (1.8)
sử ú tứ tồ t x C tỏ (1.7) ột
y C ể
g(x, y) > 0. (1.9)
ét t x
t
= ty + (1 t)x, t [0; 1] ề ệ g(x
t
, y)
ủ ế tự t [0, 1] ử tụ ớ t 0
+
. ó ớ t > 0 ủ
ỏ từ (1.9) s r
g(x
t
, y) > 0, t (0; t). (1.10)
y = x
t
từ s r

S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn

Xem chi tiết: Định lí điểm cân bằng Blum-Oettli và một số mở rộng