Nghiên cứu

5


CHƯƠNG 1
MỘT SỐ KIẾN THỨC LIÊN QUAN
1.1 Không gian Sobolev
1.1.1. Không gian
()
k
C Ω

Ta dùng các kí hiệu sau:
+)
()C Ω
là tập hợp tất cả các hàm liên tục trên
Ω
.
+)
()
k
C Ω
là tập hợp các hàm xác định trên
Ω
sao cho đạo hàm đến cấp k tồn tại
và liên tục trên Ω.
+)
()C
∞
Ω
là tập hợp tất cả các hàm khả vi vô hạn lần trên
Ω
.
Giả sử
Ω
là một tập mở trong
n
R
. Nếu
()uC
∞
∈Ω
thì bao đóng của tập
hợp các điểm x sao cho
()0ux≠
được gọi là giá của hàm u(x) và kí hiệu là
suppu.
Như vậy hàm u(x) = 0,
x∈Ω
\
suppu
.
Ta có
+)
0
()C Ω
là tập hợp tất cả các hàm thuộc
()C Ω
sao cho giá của chúng
compact và thuộc vào
Ω
.
+)
00
()()()
kk
CCCΩ=Ω∩Ω
.
+)
00
()()()CCC
∞∞
Ω=Ω∩Ω
.
1.1.2. Không gian L
p

Trong không gian định chuẩn có một lớp không gian Banach đặc biệt
quan trọng là không gian L
p
mà dưới đây ta sẽ khảo sát.
Định nghĩa.
Cho một không gian
Ω
và một độ đo
µ
trên một
σ −
đại số F các tập
con
6
của
Ω
. Họ tất cả các hàm số
()fx
có lũy thừa bậc p,
(1)p≤<+∞
của modun
khả tích trên
Ω
có nghĩa là

p
fdµ
Ω
<+∞
∫
’
gọi là không gian
(,).
p
L µΩ

Khi
Ω
là một tập đo được Lebesgue trong đó
k
R
và
µ
là một độ đo
Lebesgue thì ta viết
().
p
L Ω

Tập hợp
(,)
p
L µΩ
( trong đó ta không phân biệt các hàm tương đương
nhau, nghĩa là bằng nhau hầu khắp nơi) là một không gian tuyến tính định chuẩn
với phép toán thông thường về cộng hàm số, nhân hàm số, và với chuẩn

1
().
p
p
p
ffdµ
Ω
=
∫

Định lí 1.
Không gian
(,)
p
L µΩ
với
1 p≤<+∞
là một không gian tuyến tính định
chuẩn đủ ( không gian Banach).
Định lí 2.
Giả sử
Ω
là một miền trong
n
R
. Tập hợp tất cả các hàm liên tục trong
Ω
với giá compact trù mật trong không gian
(),1.
p
LpΩ≥

Định lí 3.(Tính khả ly)
Giả sử p ≥ 1 và
Ω
là một miền thuộc
n
R
. Tồn tại một tập con đếm được
các phần tử của không gian
(),
p
L Ω
sao cho bao tuyến tính của nó trù mật trong
().
p
L Ω

Chứng minh
Giả sử R là một số hữu tỉ nào đó,
n
x∈R

Kí hiệu
(,)UxR
là hình hộp

{ }
(,):,1,
n
ii
UxRyRyxRin=∈−<=

7
Giả sử
()
p
fL∈Ω
và
0ε >
. Đặt
()0fx=
với
x∉Ω
, và xét như một
hàm thuộc
()
n
p
L R
. Chọn R là một số nguyên đủ lớn sao cho

\(0,)
().
n
p
p
UR
fxdx ε<
∫
R

Nhờ định lí 2 tồn tại một hàm
R
g
liên tục trong
(0,)UR
sao cho
(0,1)
()(),
p
p
UR
fxgxdx ε
+
+<
∫

vì hàm
R
g
liên tục trên
(0,1)UR+
nên nó liên tục đều trên
(0,)UR
.
Do vậy
0δ∃>
sao cho

()(),,(0,),,
n
p
RR
gxgyRxyURxyεδ
−
−<∈−<

lấy
2
N
Rnδ
−
=
với N là một số nguyên nào đó để
δ
đủ nhỏ. Chia hình hộp
(0,)UR
thành các hình hộp nhỏ không giao nhau có độ dài cạnh là
2
N
R
−
và xét
tập hợp S bao gồm các hàm đặc trưng
()
j
Xx
của các hình hộp này với mọi N.
Đặt
()()(),
Rjj
j
hxgxXx=
∑

trong đó
j
x
là tâm của các hình hộp nhỏ.
Khi đó

()()()()
n
p
RRRj
gxhxgxgxRε
−
−=−<

Nếu x thuộc vào hình hộp với tâm
j
x
. Ta có

(0,)
p
p
R
UR
ghdx ε−<
∫

Đặt
0
R
g =
, h(x) = 0 đối với
\(0,)
n
xUR∈R
ta được
8
1
1
1
(0,)
\(0,)
()()()()()
nn
p
p
p
ppp
UR
UR
fxhxdxfxhxdxfxdx



−≤−+








∫∫∫
RR
1
1
(0,)(0,)
\(0,)
()()()()()
n
p
p
ppp
RR
URUR
UR
fxgxdxgxhxdxfxdx


≤−+−+





∫∫∫
R
11
(0,1)(0,)
()()()()
pp
pp
RR
URUR
fxgxdxgxhxdx
+

≤−+−



∫∫


1
\(0,)
()3.
n
p
p
UR
fxdx ε


+≤


∫
R

Do vậy tập hợp các tổ hợp tuyến tính của các hàm
j
X trù mật trong
()
p
L Ω
.
Một trong những ứng dụng quan trọng của các hàm thuộc không gian
(),1
p
LpΩ≥
là tính liên tục toàn cục của nó.
Định lí 4.(Tính liên tục toàn cục)
Giả sử
Ω
là một miền thuộc
,(),1,()0
n
p
fLpfx∈Ω≥=R
bên ngoài
.Ω

Khi đó với mỗi
0ε >
tồn tại một số
0δ >
, sao cho

()(),
p
fxfxydx ε
Ω
−+<
∫

với mọi y thỏa mãn
.y δ<

1.1.3. Trung bình hóa
Giả sử
()xθ
là một hàm trực thuộc lớp
0
()
n
C
∞
R
sao cho

()(),()0,()0xxxxθθθθ=−≥=
nếu
1x >
và
()1.
n
xθ =
∫
R

Hàm
()xθ
được gọi là nhân trung bình hoá.
Định lí 5.
Nếu
(),1
p
uLp∈Ω≥
thì
()
0
lim0.
p
h
L
h
uu
Ω
→
−=

Định lí 6.
9
Nếu
1
,()fgL∈Ω
, thì

()()()().
hh
fxgxdxfxgxdx
ΩΩ
=
∫∫

Định lí 7.
Nếu
1
()fL∈Ω
và
()()0,fxxdxϕ
Ω
=
∫
với mọi
0
()Cϕ
∞
∈Ω
thì
0.f =

1.1.4. Đạo hàm suy rộng
Giả sử
Ω
là một miền trong
n
R
. Một hàm
()()
p
uxL∈Ω
được gọi là đạo
hàm suy rộng cấp α của hàm
()()
p
vxL∈Ω
nếu

()()(1)()()uxxdxvxDxdx
α
α
ψψ
ΩΩ
=−
∫∫
, với mọi
0
()Cψ
∞
∈Ω
,
ở đó
1212
(,, ,),
nn
αααααααα==+++
và

12
12
.

n
n
D
xxx
α
α
ααα
∂
=
∂∂∂

Chú ý
i) Hàm
()vx
không có quá một đạo hàm suy rộng.
Thật vậy giả sử
1
()ux
và
2
()ux
là đạo hàm suy rộng của hàm
()vx
.
Khi đó

0
12
(()())()0,()().uxuxxdxxCψψ
∞
Ω
−=∀∈Ω
∫

Mà
121,
()()()
loc
uxuxL−∈Ω
nên
12
()()0uxux−=
hầu khắp nơi trong
Ω
.
Suy ra
12
()()uxux=
hầu khắp nơi trong
Ω
.
ii) Nếu
0
()()vxC
∞
∈Ω
thì theo công thức Ostrograsdki ta có

()()(1)()(),uxxdxvxDxdx
α
α
ψψ
ΩΩ
=−
∫∫
với hàm tuỳ ý
0
()Cψ
∞
∈Ω
.
Có nghĩa hàm
()vx
có đạo hàm suy rộng
()ux
bằng
()Dvx
α
.
10
Đặc biệt nếu hàm
()vx
bằng hằng số ( hầu khắp nơi) trên
Ω
thì có đạo hàm
suy rộng tuỳ ý.
iii) Từ định nghĩa ta suy ra đạo hàm suy rộng không phụ thuộc vào thứ tự
lấy đạo hàm. Thật vậy giả sử
f
tồn tại đạo hàm cấp α.
Ta chứng minh
11
11

jj
inin
ijnjin
ff
xxxxxxxx
αα
αα
αααα
αα
∂∂
=
∂∂∂∂∂∂∂∂

+
1
1

j
in
ijn
v
xxxx
α
α
αα
α
∂
∂∂∂∂

=
1
1

j
in
jin
v
xxxx
α
α
αα
α
∂
∂∂∂∂
,
()vC
α
∀∈Ω
.
Do
1
()fL∈Ω
nên theo định nghĩa đạo hàm suy rộng

1
1
(1)

j
in
ijn
v
dxvdx
xxxx
α
α
α
αα
α
ω
ΩΩ
∂
=−
∂∂∂∂
∫∫

=
1
1
,

j
in
jin
f
fdx
xxxx
α
α
ααα
Ω
∂
∂∂∂∂
∫

với
0
.vC
∞
∈
Suy ra

1
1
.

j
in
jin
f
xxxx
α
α
ααα
ω
∂
=
∂∂∂∂

iv) Một hàm có đạo hàm bình thường (đạo hàm theo nghĩa cổ điển) cấp α
thì có đạo hàm suy rộng cấp α nhưng điều ngược lại nói chung không đúng.
Ví dụ
Xét hàm
()fxx=
trên (-1;1).
ta đã biết tồn tại đạo hàm thường tại
0x∀≠
. Tại x = 0 thì không tồn tại đạo
hàm vì
(0)1,(0)1ff
−+−−
==−
. Ta sẽ chứng minh
()fxx=
có đạo hàm suy
rộng trên toàn trục số.
11
Xét

11
0
11
,(),
dv
xdxvdxvC
dx
ω
∞
−−
=−∀∈
∫∫
R

lấy
1,01
1,10
x
x
ω
≤<

=

−−<<


do đó
1
(1;1)Lω∈−
nên

10101
11010
2.dxdxdxdxdxωωω
−−−
=+=−+=
∫∫∫∫∫

Nên
101
110
,
vvv
xdxxdxxdx
xxx
−−
∂∂∂
=+
∂∂∂
∫∫∫

hay
101
110
vvv
xdxxdxxdx
xxx
−−
∂∂∂
=−+
∂∂∂
∫∫∫


0101
1010
1
1
(1)1
.
vdxvdxvdxvdx
vdxω
−−
−

=−=−−+


=−
∫∫∫∫
∫

như vậy hàm
()fxx=
không có đạo hàm thường trên khoảng ( -1;1) nhưng có
đạo hàm suy rộng trên khoảng ( -1;1).
v) Một hàm có đạo hàm suy rộng cấp α trong miền
Ω
thì nó cũng có đạo
hàm suy rộng cấp α trong miền
'Ω⊂Ω
.
Thật vậy
Giả sử
0
1
(),()fLvC
∞
∈Ω∈Ω
ta có

1212
1212
''
.

nn
nn
vv
fdxfdx
xxxxxx
αα
αα
αααα
ΩΩ
∂∂
=
∂∂∂∂∂∂
∫∫

Do
00
('),()vCvC
∞∞
∈Ω∈Ω
với
'Ω⊂Ω
nên
12

'
11.vdxvdx
αα
ωω
ΩΩ
−=−
∫∫

Ta có
1
()Lω∈Ω
suy ra
1
(')Lω∈Ω
vậy sẽ tồn tại
1
(')Lω∈Ω
sao cho

12
0
12
''
1,(').

n
n
v
fdxvdxvC
xxx
α
α
α
αα
ω
∞
ΩΩ
∂
=−∀∈Ω
∂∂∂
∫∫

Do đó tồn tại đạo hàm suy rộng

1
1

n
n
f
xx
α
αα
ω
∂
=
∂∂
trên
'.Ω

vi) Khác với đạo hàm cổ điển, đạo hàm suy rộng
Dv
α
được xác định
ngay với cấp α mà không cần giả thiết các đạo hàm cấp thấp hơn tương ứng tồn
tại. Các đạo hàm cấp thấp hơn có thể không tồn tại.
Sau đây ta đi xét một định lí về sự liên hệ giữa đạo hàm suy rộng và trung
bình hoá.
Định lí 8.
Giả sử
Ω
là một miền trong không gian
,'
n
ΩR
là miền con của
Ω
sao
cho khoảng cách giữa
'Ω
và
∂Ω
bằng d > 0. Khi đó, đối với 0 < h < d và
'x∈Ω
ta có

()()()
hh
DuxDux
αα
=
.
Chứng minh
Do 0 < h < d,
'x∈Ω
và hàm
0
()
xy
C
h
θ
∞
−

∈Ω


với
',x∈Ω
nên khi sử
dụng định nghĩa đạo hàm suy rộng ta nhận được

()()(),
n
n
h
xy
DuxDxhuydy
h
αα
θ
−
−

=


∫
R

hay
()(1)()
n
h
xy
DuxhDyuydy
h
α
αα
θ
−
Ω
−

=−


∫

13

()()().
n
h
xy
hDyuydyDux
h
αα
θ
−
Ω
−

==


∫

1.1.5. Không gian Sobolev (
(),1
m
p
WpΩ≤<∞
)
Một không gian phiếm hàm được sử dụng rộng rãi trong lí thuyết phương
trình đạo hàm riêng là không gian Sobolev. Sobolev S.L đã xây dựng không
gian này vào giữa thế kỉ 20 và từ đó đến nay nhiều nhà toán học khác đã tiếp tục
mở rộng và phát triển để nghiên cứu những bài toán phương trình đạo hàm riêng
ngày càng khó khăn, phức tạp.
Không gian
()
m
p
W Ω
là không gian bao gồm tất cả các hàm
()()
p
uxL∈Ω

sao cho tồn tại các đạo hàm suy rộng đến tận cấp α thuộc
()
p
L Ω
và được trang
bị bởi chuẩn sau

1
()
()
m
p
p
p
W
m
uDuxdy
α
α
α
Ω
<
Ω

=<



∑
∫
(4.1).
Định lí 9.
Giả sử
Ω
là một miền trong
n
R
và
0,1.mp≥≤<∞
Khi đó
()
m
p
W Ω
là
một không gian Banach.
Không gian
()
m
p
W Ω
với chuẩn (4.1) được gọi là không gian Sobolev.
Chú ý
Từ tính chất
()
p
L Ω
là không gian đầy ta cũng suy ra được
()
m
p
W Ω
cũng là
không gian đầy.
2
()L Ω
là không gian Hilbert suy ra
2
()
m
W Ω
cũng là không gian Hilbert.
Ở trường hợp này để ngắn gọn người ta kí hiệu là
()
k
H Ω
.
Ta đi xét vấn đề xấp xỉ một hàm thuộc không gian
()
m
p
W Ω
bằng các hàm
thuộc
()C
∞
Ω
.

14
Định lí 10.
Giả sử
Ω
là một miền thuộc
n
R
và
'Ω
là một miền con của
Ω
sao cho
'Ω⊂Ω
. Nếu
(),
m
p
uW∈Ω
thì

m
p
W()
0
lim0.
h
h
uu
Ω
→
−=

Chứng minh
Theo định lí 9 ta có

m'
p
1
W()
'
()
p
p
hh
m
uuDuudx
α
α
Ω
≤
Ω

−=−



∑
∫


1
'
())
p
p
h
m
DuDudx
αα
α≤
Ω

=−



∑
∫
(4.2).
Đặt
vDu
α
α
=
. Từ định lí 6 suy ra

'
()0,0
p
h
vvdxh
αα
Ω
−→→
∫
(4.3).
Từ (4.2) và (4.3) ta nhận được

(')
0,0.
m
p
h
W
uuh
Ω
−→→

Định lí 11.
Giả sử dãy
{ }
1
j
j
u
∞
=
các phần tử của không gian
()
m
p
W Ω
bị chặn

()
,
m
p
j
W
uCCconst
Ω
≤=

Ngoài ra, giả sử dãy này hội tụ yếu trong không gian
()
p
L Ω
tới một
hàm
()ux
khi
j →∞
. Khi đó
{ }
1
j
j
u
∞
=
hội tụ yếu trong không gian
()
p
L Ω

tới hàm
()()
m
p
uxW∈Ω
và

()
.
m
p
W
uC
Ω
≤

Xem chi tiết: Nghiên cứu