Tài liệu Chương 2: Hàm đơn điệu và tựa đơn điệu pptx

Chương 2: Hàm đơn điệu và tựa đơn điệu
2.1. HÀM ĐƠN ĐiỆU
•
BÀI GIẢNG
Định lý 2.1. Cho hàm số có đạo hàm trên khoảng
(i) Nếu với mọi thì hàm số đồng biến trên
khoảng đó.
(ii) Nếu với mọi thì hàm số nghịch biến trên
khoảng đó.

Chương 2: Hàm đơn điệu và tựa đơn điệu
2.1. HÀM ĐƠN ĐiỆU
•
BÀI GIẢNG
Định lý 2.2. Hàm xác định trên là một hàm số đơn điệu tăng khi
và chỉ khi với mọi cặp bộ số dương và ta
đều có

Chương 2: Hàm đơn điệu và tựa đơn điệu
2.1. HÀM ĐƠN ĐiỆU
•
BÀI GIẢNG
Định lý 2.3. Để bất đẳng thức
được thoả mãn với mọi bộ số dương điều kiện đủ là hàm

đơn điệu tăng trên
Chứng minh: Nhận xét rằng, ta có hàm số và (2.2) sẽ có
dạng (2.1) với
hiển nhiên được thỏa mãn ứng với là một hàm số đơn điệu tăng trên

Chương 2: Hàm đơn điệu và tựa đơn điệu
2.1. HÀM ĐƠN ĐiỆU
•
BÀI GIẢNG
Hệ quả 2.1. Giả sử là hàm đơn điệu tăng trong
Khi đó với mọi dãy số dương và giảm ta đều có

Nhận xét rằng, (2.2’) không là điều kiện cần để là một hàm đồng biến.
Thật vậy, chỉ cần chọn hàm có tính chất
ta dễ dàng kiểm chứng rằng (2.2’) được thoả mãn. Chẳng hạn, hàm số
thoả mãn điều kiện nêu trên và vì vậy nó thoả mãn điều kiện (2.2’). Tuy
nhiên, hàm không là hàm đơn điệu tăng trên

Chương 2: Hàm đơn điệu và tựa đơn điệu
2.1. HÀM ĐƠN ĐiỆU
•
BÀI GIẢNG
Nếu bổ sung thêm điều kiện: là hàm đồng biến trên

và là bộ số gồm các số lớn hơn 1, thì ta thu được bất đẳng
thức thực sự:
Tương tự, ta cũng có thể phát biểu các đặc trưng đối với hàm đơn điệu giảm.

Chương 2: Hàm đơn điệu và tựa đơn điệu
2.1. HÀM ĐƠN ĐiỆU
•
BÀI GIẢNG
Định lý 2.4. Hàm xác định trên là một hàm số đơn điệu giảm khi
và chỉ khi với mọi cặp bộ số dương và ta
đều có

Chương 2: Hàm đơn điệu và tựa đơn điệu
2.1. HÀM ĐƠN ĐiỆU
•
BÀI GIẢNG
Định lý 2.5. Để bất đẳng thức
được thoả mãn với mọi bộ số dương điều kiện đủ là hàm

đơn điệu giảm trên

Chương 2: Hàm đơn điệu và tựa đơn điệu
2.1. HÀM ĐƠN ĐiỆU
•
BÀI GIẢNG
Trong số các hàm số sơ cấp một biến, thì hàm tuyến tính
đóng vai trò quan trọng, vì nó dễ nhận biết về tính đồng biến (khi )

và nghịch biến (khi ) trong mỗi khoảng tuỳ ý cho trước.
Định lý 2.6. Giả thiết rằng, với mọi cặp bộ số dương
ta đều có
Thì trong đó là hằng số.

Chương 2: Hàm đơn điệu và tựa đơn điệu
2.1. HÀM ĐƠN ĐiỆU
•
BÀI GIẢNG
Định lý 2.7. (Maclaurin, Cauchy) Giả thiết rằng là một hàm đơn điệu
giảm trên Khi đó, ta luôn có
Khi là hàm nghịch biến thì có dấu bất đẳng thức thực sự.

Chương 2: Hàm đơn điệu và tựa đơn điệu
2.1. HÀM ĐƠN ĐiỆU
•
BÀI GIẢNG
Định lý 2.8. Giả thiết rằng là một hàm đơn điệu giảm trên
và là một dãy tăng trong Khi đó, ta luôn có
Khi là hàm nghịch biến thì có dấu bất đẳng thức thực sự.

Xem chi tiết: Tài liệu Chương 2: Hàm đơn điệu và tựa đơn điệu pptx